НОУ ІНТУЇТ | лекція | Числові характеристики розподілів

Інші числові характеристики розподілів

Розподілу можна характеризувати і багатьма іншими показниками, більшість з яких знаходить основне застосування в статистиці. Тут ми тільки коротко познайомимося з їх визначеннями.

Медианой розподілу випадкової величини називається будь-яке з чисел таких, що

Медіана розподілу завжди існує, але може бути не єдина. Так, у біноміального розподілу з параметрами і медианой буде будь-яке число з відрізка . дійсно, приймає значення , , і з вірогідністю відповідно , , і . Тому для всіх

Часто в таких випадках в якості беруть середину "відрізка медіан".

Для розподілів з безперервною і строго монотонної функцією розподілу медіана є єдиним рішенням рівняння . Це точка, лівіше і правіше якої на числової прямої зосереджено рівно по половині всієї ймовірнісної "маси" ( Мал. 10.1 ). Якщо розподіл має щільність , То площі кожної з областей під графіком щільності зліва і праворуч від точки однакові.

Медіана є однією з квантилів розподілу. Нехай для простоти функція розподілу неперервна і строго монотонна. Тоді Квантиль рівня називається рішення рівняння .

Мал.10.1.

Медіана і квантилі на графіку функції розподілу і щільності

квантиль рівня відрізає від області під графіком щільності область з площею зліва від себе, і з площею - праворуч. Медіана є Квантиль рівня .

Квантилі рівнів, кратних , В прикладній статистиці називають процентилями, квантилі рівнів, кратних , - децілямі, рівнів, кратних , - квартилями.

Модою абсолютно неперервного розподілу називають будь-яку точку локального максимуму щільності розподілу. Для дискретних розподілів модою вважають будь-яке значення , Ймовірність якого більше, ніж ймовірності сусідніх значень (сусіднього, якщо таке одне).

Для нормального розподілу медіана, математичне очікування і мода рівні . Розподіл, що володіє єдиною модою, називають унімодальне. Ідеальним прикладом унімодального розподілу є нормальний розподіл. Щільність довільного унімодального розподілу може бути як більш плоскою (рівномірний розподіл), так і більш "гостровершинності" (показовий розподіл) в порівнянні з щільністю нормального розподілу, може бути симетричною або нахиленою в одну сторону. Для опису таких властивостей щільності використовують коефіцієнт ексцесу і коефіцієнт асиметрії.

Коефіцієнтом асиметрії розподілу з кінцевим третім моментом називається число

де , .

Для симетричних розподілів коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю. якщо , То графік щільності розподілу має більш крутий нахил зліва і більш пологий - справа; при - навпаки.

Коефіцієнтом ексцесу розподілу з кінцевим четвертим моментом називається число

Для всіх нормальних розподілів коефіцієнт ексцесу дорівнює нулю. Дійсно, для величина має стандартний нормальний розподіл. Четвертий момент цього розподілу дорівнює трьом: (Обчислити аналогічно другого моменту в прикладі 60). Тому .

при щільність розподілу має більш гостру вершину, ніж у нормального розподілу, при , Навпаки, більш плоску.