НОУ ІНТУЇТ | лекція | Числові характеристики розподілів

Інші числові характеристики розподілів

Розподілу можна характеризувати і багатьма іншими показниками, більшість з яких знаходить основне застосування в статистиці. Тут ми тільки коротко познайомимося з їх визначеннями.

Медианой розподілу випадкової величини Медианой розподілу випадкової величини   називається будь-яке з чисел   таких, що називається будь-яке з чисел таких, що

Медіана розподілу завжди існує, але може бути не єдина. Так, у біноміального розподілу з параметрами Медіана розподілу завжди існує, але може бути не єдина і медианой буде будь-яке число з відрізка . дійсно, приймає значення , , і з вірогідністю відповідно , , і . Тому для всіх

Часто в таких випадках в якості Часто в таких випадках в якості   беруть середину відрізка медіан беруть середину "відрізка медіан".

Для розподілів з безперервною і строго монотонної функцією розподілу Для розподілів з безперервною і строго монотонної функцією розподілу   медіана є єдиним рішенням рівняння медіана є єдиним рішенням рівняння . Це точка, лівіше і правіше якої на числової прямої зосереджено рівно по половині всієї ймовірнісної "маси" ( Мал. 10.1 ). Якщо розподіл має щільність , То площі кожної з областей під графіком щільності зліва і праворуч від точки однакові.

Медіана є однією з квантилів розподілу. Нехай для простоти функція розподілу Медіана є однією з квантилів розподілу неперервна і строго монотонна. Тоді Квантиль рівня називається рішення рівняння .


Мал.10.1.

Медіана і квантилі на графіку функції розподілу і щільності

квантиль квантиль   рівня   відрізає від області під графіком щільності область з площею   зліва від себе, і з площею   - праворуч рівня відрізає від області під графіком щільності область з площею зліва від себе, і з площею - праворуч. Медіана є Квантиль рівня .

Квантилі рівнів, кратних Квантилі рівнів, кратних   , В прикладній статистиці називають процентилями, квантилі рівнів, кратних   , - децілямі, рівнів, кратних   , - квартилями , В прикладній статистиці називають процентилями, квантилі рівнів, кратних , - децілямі, рівнів, кратних , - квартилями.

Модою абсолютно неперервного розподілу називають будь-яку точку локального максимуму щільності розподілу. Для дискретних розподілів модою вважають будь-яке значення Модою абсолютно неперервного розподілу називають будь-яку точку локального максимуму щільності розподілу , Ймовірність якого більше, ніж ймовірності сусідніх значень (сусіднього, якщо таке одне).

Для нормального розподілу Для нормального розподілу   медіана, математичне очікування і мода рівні медіана, математичне очікування і мода рівні . Розподіл, що володіє єдиною модою, називають унімодальне. Ідеальним прикладом унімодального розподілу є нормальний розподіл. Щільність довільного унімодального розподілу може бути як більш плоскою (рівномірний розподіл), так і більш "гостровершинності" (показовий розподіл) в порівнянні з щільністю нормального розподілу, може бути симетричною або нахиленою в одну сторону. Для опису таких властивостей щільності використовують коефіцієнт ексцесу і коефіцієнт асиметрії.

Коефіцієнтом асиметрії розподілу з кінцевим третім моментом називається число

де де   , , .

Для симетричних розподілів коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю. якщо Для симетричних розподілів коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю , То графік щільності розподілу має більш крутий нахил зліва і більш пологий - справа; при - навпаки.

Коефіцієнтом ексцесу розподілу з кінцевим четвертим моментом називається число

Для всіх нормальних розподілів коефіцієнт ексцесу дорівнює нулю. Дійсно, для Для всіх нормальних розподілів коефіцієнт ексцесу дорівнює нулю величина має стандартний нормальний розподіл. Четвертий момент цього розподілу дорівнює трьом: (Обчислити аналогічно другого моменту в прикладі 60). Тому .

при при   щільність розподілу має більш гостру вершину, ніж у нормального розподілу, при   , Навпаки, більш плоску щільність розподілу має більш гостру вершину, ніж у нормального розподілу, при , Навпаки, більш плоску.