НОУ ІНТУЇТ | лекція | математична логіка
Дивитися лекцію на: ІНТУЇТ | youtube.com
Якщо проблеми з відео, натисніть вище посилання youtube
Логіка, якою ми користуємося в повсякденному житті, має свої закони. Щоб прийти в своїх міркуваннях до правильних висновків, наші міркування повинні відповідати законам логіки. Математична логіка - це наука про висновки, що дозволяє формалізувати міркування.
- логіка висловлювань;
- логіка предикатів;
- темпоральна логіка - формалізація міркувань, які враховують, що події відбуваються в різні моменти часу;
- модальна логіка - формалізація міркувань, які враховують можливості появи тих чи інших подій.
логіка висловлювань
Логіка висловлювань - найпростіший, але вкрай важливий фрагмент математичної логіки. Саме він вивчається в рамках шкільної програми. Логіка висловлювань, як випливає з назви, займається формалізацією висловлювань. Під висловом розуміється твердження, що відповідає закону "виключає третього", - воно або істинно, або хибно. При формалізації - висловом ставиться у відповідність логічна змінна, яка може приймати тільки два значення. Ці два можливих значення в різних контекстах позначаються по-різному - Істина і Брехня, true і false, 1 і 0, T і F. Іменування значень можуть бути різними, але сенс завжди один і той же. Одне значення інтерпретується як істина, інше - брехня.
При міркуваннях ми використовуємо так звані "логічні зв'язки:
- Союзне слово "І", що зв'язує два висловлювання, означає, що висловлювання А І В істинно тоді, і тільки тоді, коли істинні обидва висловлювання - і "А", і "В". У логіці висловлювань дві змінні А і В можуть бути пов'язані операцією "І". Результат цієї операції є Істина, тоді і тільки тоді, коли значення Істина мають обидві змінні. Так що операція "І" в логіці висловлювань відповідає логічній зв'язці - союзу І, який ми використовуємо при міркуваннях в повсякденному житті. Операція "И" в логіці висловлювань має багато різних імен і позначень - кон'юнкція, логічне множення,
. Імена можуть бути різними, - сенс (семантика) операції завжди один і той же. У повсякденному житті замість "І" можуть застосовуватися і інші зв'язки, які мають той же сенс. Приклад висловлювання: "Петя сильний в математиці і в інформатиці". Той же сенс має і висловлювання "Петя сильний як в математиці, так і в інформатиці". При формалізації цього висловлювання може відповідати запис: 
, Де істинність 
змістовно означає істинність висловлювання - "Петя сильний в математиці". Аналогічно інтерпретується і змінна 
. В іншому контексті формальна запис може мати вигляд 
, Сенс записи від цього не зміниться. - Інша, не менш часто використовувана зв'язка, задається союзним словом "АБО". У повсякденному житті ця зв'язка може інтерпретуватися по-різному. Судження А ЧИ В може бути істинним, коли істинно або "А", або "В", або як "А", так і "В". Приклад висловлювання: "Влітку Петя обов'язково відвідає Москву або Пітер". У цьому висловлюванні відвідування Москви не виключає відвідування Пітера. Якщо ж розглянути висловлювання "Петя навчатиметься в Москві або в Пітері", то воно інтерпретується однозначно - Петя збирається вчитися або в Москві, або в Пітері, але не в обох містах відразу. Для повсякденної мови в зв'язці "АБО" є деяка невизначеність. У логіці висловлювань невизначеності немає, оскільки тут визначені дві різні операції - операція "АБО" і "Що виключає АБО". У першій операції кілька синонімічних найменувань - диз'юнкція, роз'єднання,
. Що виключає Або називають ще складанням по модулю 2. Для операції використовується позначення XOR або символ 
.Формальная запис першого висловлювання про наміри Петі може здаватися формулою логіки висловлювання 
, Другого висловлювання - 
з відповідною інтерпретацією змінних і . - Слова «Не», «Ні», «Неправда", "Неправильно" використовуються в повсякденній мові для заперечення істинності деякого висловлювання. У логіці висловлювань є відповідна операція заперечення "НЕ", для якої використовуються і інші позначення
. Операцію заперечення називають ще інверсією. - Коли потрібно висловити той факт, що два висловлювання стверджують одну і ту ж істину, зазвичай говорять - "це одне і те ж" або "немає різниці". У логіці висловлювань відповідна операція називається звичним для математиків терміном - "Так само", "Тотожно" або "Еквівалентно". Для цієї операції найчастіше використовується знаки:
або 
. - Ще одна, вкрай важлива для міркувань, логічна зв'язка передається в повсякденному житті поєднаннями: "якщо А, то В" або "А тягне В", "з А слід В". У математичній логіці відповідна операція називається импликацией, операцією слідування, для якої зазвичай використовується знак
або 
.
Ланцюжок міркувань, заснованих на висловлюваннях, можна записати у вигляді деякої формули логіки висловлювань. Формули логіки висловлювань будуються з логічних змінних, логічних констант (True і False), логічних функцій, окремим випадком яких є розглянуті нами операції - кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація та інші операції, а також дужок, керуючих порядком обчислення формули.
Про формулах логіки висловлювань ми ще будемо докладно говорити в наступних уроках.