Підготовка школярів до ЄДІ в навчальному центрі «резольвенту» (Довідник з математики - Елементи математичного аналізу - Приріст аргументу і приріст функції. Похідна функції. Безперервність функції

  1. Приріст аргументу і приріст функції. Похідна як межа відносини збільшень В розділі «Січна графіка...

Приріст аргументу і приріст функції. Похідна як межа відносини збільшень

В розділі «Січна графіка функції. Дотична до графіка функції. Похідна функції. Геометричний зміст похідної » нашого довідника наведено визначення похідної функції y = f (x) в точці x 0 (в тому випадку, якщо вона існує) як числа, до якого прагне відношення

при x 1 → x 0. Коротко це прийнято записувати так:

Зауважимо, що існування похідної функції y = f (x) і значення похідної залежать від вибору точки x 0. Тому похідна функції сама є функцією точки x 0.

Якщо у формулі (2) замінити x 0 на x, а різниця x 1 - x 0 позначити символом Δ x, то ця формула набуде вигляду

Визначення 1. Змінну Δ x називають приростом аргументу, а різниця

f (x + Δ x) - f (x)

називають приростом функції f (x) в точці x, відповідним приросту аргументу Δ x, і позначають Δ f.

Таким чином,

Δ f = f (x + Δ x) - f (x) (4)

Використовуючи визначення приросту аргументу і приросту функції, формулу (3) можна переписати так:

Відповідно до цієї формули похідну функції f (x) в точці x називають межею відношення приросту функції до приросту аргументу в точці x, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Приклад 1. Вивести формулу для похідної функції y = x 2.

Рішення . З формули (3) отримуємо:

Відповідь. Відповідь

безперервність функції

Визначення 2. Функцію y = f (x) називають безперервної в точці x 0, якщо виконано рівність

Іншими словами, функція f (x) неперервна в точці x 0 тоді і тільки тоді, коли виконано рівність

Приклад 2. Довести, що функція y = x 3 неперервна в будь-якій точці x, де Приклад 2 .

Рішення. Виберемо довільну точку x, де Рішення , І скористаємося формулою скороченого множення «куб суми»:

Співвідношення (7) виконано, що і завершує рішення прикладу 2.

Приклад 3. Довести, що функція

розривна (не є безперервною) в точці x = 0.

Рішення. Оскільки в точці x = 0

причому

то співвідношення (7) в точці x = 0 не виконується. Таким чином, функція (8) є розривною в точці x = 0.

Доведено.

Для наочності наведемо графік функції (8) (рис. 1).

рис.1

Зауваження. Якщо в точці x = x 0 у функції f (x) існує похідна , То функція f (x) неперервна в точці x 0.

Протилежне твердження, взагалі кажучи, невірно: якщо функція f (x) неперервна в точці x 0, то звідси зовсім не випливає, що в цій точці у функції повинна існувати похідна. Прикладом є функція f (x) = | x | ( модуль x), яка неперервна в точці x = 0, але у неї не існує похідною в цій точці.

На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ з математики .

Запрошуємо школярів (можна разом з батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики і навички у вирішенні завдань є для учня «проблемними».

Запис по телефону (495) 509-28-10

Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ з математики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить

У нас також для школярів організовані

МОСКВА, СВАО, Навчальний центр «резольвенту»