Підготовка школярів до ЄДІ в навчальному центрі «резольвенту» (Довідник з математики - Елементи математичного аналізу - Приріст аргументу і приріст функції. Похідна функції. Безперервність функції
- Приріст аргументу і приріст функції. Похідна як межа відносини збільшень В розділі «Січна графіка...
Приріст аргументу і приріст функції. Похідна як межа відносини збільшень
В розділі «Січна графіка функції. Дотична до графіка функції. Похідна функції. Геометричний зміст похідної » нашого довідника наведено визначення похідної функції y = f (x) в точці x 0 (в тому випадку, якщо вона існує) як числа, до якого прагне відношення
при x 1 → x 0. Коротко це прийнято записувати так:
Зауважимо, що існування похідної функції y = f (x) і значення похідної залежать від вибору точки x 0. Тому похідна функції сама є функцією точки x 0.
Якщо у формулі (2) замінити x 0 на x, а різниця x 1 - x 0 позначити символом Δ x, то ця формула набуде вигляду
Визначення 1. Змінну Δ x називають приростом аргументу, а різниця
f (x + Δ x) - f (x)
називають приростом функції f (x) в точці x, відповідним приросту аргументу Δ x, і позначають Δ f.
Таким чином,
Δ f = f (x + Δ x) - f (x) (4)
Використовуючи визначення приросту аргументу і приросту функції, формулу (3) можна переписати так:
Відповідно до цієї формули похідну функції f (x) в точці x називають межею відношення приросту функції до приросту аргументу в точці x, коли приріст аргументу прямує до нуля.
Приклад 1. Вивести формулу для похідної функції y = x 2.
Рішення . З формули (3) отримуємо:
Відповідь. 
безперервність функції
Визначення 2. Функцію y = f (x) називають безперервної в точці x 0, якщо виконано рівність
Іншими словами, функція f (x) неперервна в точці x 0 тоді і тільки тоді, коли виконано рівність
Приклад 2. Довести, що функція y = x 3 неперервна в будь-якій точці x, де 
.
Рішення. Виберемо довільну точку x, де , І скористаємося формулою скороченого множення «куб суми»:
Співвідношення (7) виконано, що і завершує рішення прикладу 2.
Приклад 3. Довести, що функція
розривна (не є безперервною) в точці x = 0.
Рішення. Оскільки в точці x = 0
причому
то співвідношення (7) в точці x = 0 не виконується. Таким чином, функція (8) є розривною в точці x = 0.
Доведено.
Для наочності наведемо графік функції (8) (рис. 1).
рис.1
Зауваження. Якщо в точці x = x 0 у функції f (x) існує похідна , То функція f (x) неперервна в точці x 0.
Протилежне твердження, взагалі кажучи, невірно: якщо функція f (x) неперервна в точці x 0, то звідси зовсім не випливає, що в цій точці у функції повинна існувати похідна. Прикладом є функція f (x) = | x | ( модуль x), яка неперервна в точці x = 0, але у неї не існує похідною в цій точці.
На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ з математики .
Запрошуємо школярів (можна разом з батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики і навички у вирішенні завдань є для учня «проблемними».
Запис по телефону (495) 509-28-10
Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ з математики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить
У нас також для школярів організовані