Поверхня. Освіта і завдання поверхні на кресленні. Поверхні обертання. Гвинтові поверхні. Поверхні з площиною паралелізму. Поверхні паралельного перенесення.

Лекція №8 частина 1

поверхня . формоутворення поверхонь . поверхні обертання . гвинтові поверхні . Лінійчаті поверхні з площиною паралелізму (Поверхні Каталана) . Поверхні паралельного перенесення.

"Поверхня, одне з основних геометричних понять. При логічному уточненні цього поняття в різних відділах геометрії йому надається різний зміст.

1) У шкільному курсі геометрії розглядаються площині, багатогранники, а також деякі криві поверхні. Кожна з кривих П. визначається спеціальним способом, найчастіше як безліч точок, що задовольняють деяким умовам. Наприклад, поверхня кулі - безліч точок, віддалених на заданій відстані від даної точки. Поняття "Поверхность" лише пояснюється, а не визначається. Наприклад, кажуть, що поверхня є межа тіла або слід рухається лінії.

2) Математично строге визначення поверхні ґрунтується на поняттях топології. При цьому основним є поняття простий поверхні, яку можна уявити як шматок площині, підданий безперервним деформацій (розтягування, стисканням і згинанням). ... "

*Велика Радянська Енциклопедія.

Поверхні складають широке різноманіття нелінійних фігур тривимірного простору. Інженерна діяльність людини пов'язана безпосередньо з конструюванням, розрахунком і, виготовленням різних поверхонь. Більшість завдань прикладної геометрії зводиться до автоматизації конструювання, розрахунку та відтворення складних технічних поверхонь. Способи формоутворення і відображення поверхонь, нарисної геометрії складають основу інструментальної бази тривимірного моделювання сучасних графічних редакторів.

Розглядаючи поверхні як безперервне безліч точок, між координатами яких може бути встановлена залежність, яка визначається рівнянням виду F (x, y, z) = 0, можна виділити алгебраїчні поверхні (F (x, y, z) - поліном n-го ступеня) і трансцендентні (F (x, y, z) - трансцендентна функція).

Якщо алгебраїчна поверхня описується рівнянням n-го ступеня, то поверхня вважається поверхнею n -го порядку. Довільно розташована січна площина перетинає поверхню по кривій того ж порядку (іноді розпадається або уявної), який має досліджувана поверхня. Порядок поверхні може бути визначений також числом точок її перетину з довільною прямою, що не належить цілком поверхні, вважаючи всі крапки (дійсні та уявні).

У нарисної геометрії фігури задаються графічно, тому доцільно поверхню розглядати як сукупність всіх послідовних положень деякої переміщається в просторі лінії.

Поверхню можна розглядати, як сукупність послідовних положень l 1, l 2 ... лінії l, що переміщається в просторі за певним законом ( Мал. 8.1 ). В процесі утворення поверхні лінія l може залишатися незмінною або міняти свою форму - згинатися або деформуватися. Для наочності зображення поверхні на епюрі Монжа закон переміщення лінії l доцільно ставити графічно в одній лінії або цілого сімейства ліній (m, n, p ...). Рухливу лінію прийнято називати утворює, нерухомі - напрямними. Такий спосіб утворення поверхні прийнято називати кинематическим.

Прикладом такого способу можуть служити всі технологічні процеси обробки металів ріжучої крайкою, коли поверхню виробу несе на собі «відбиток» ріжучої кромки різця, тобто її поверхню можна розглядати як безліч, ліній конгруентних профілем різця.

По виду утворює розрізняють поверхні лінійчатих і нелінійчатих, утворює перше - пряма лінія, друге - крива.

Лінійчаті поверхні в свою чергу поділяють на так звані розгортають, які можна без складок і розривів розгорнути на площину і неразвертивающіеся.

Значний клас поверхонь формується рухом окружності постійного або змінного радіуса. Це так звані циклічні поверхні ( Мал. 8.2 ).

Якщо ж групувати поверхні за законом руху утворює лінії і виробляє поверхні, то більшість зустрічаються в техніці поверхонь можна розділити на:

· Поверхні обертання;

· Гвинтові поверхні;

· Поверхні з площиною паралелізму;

· Поверхні переносу.

Особливе місце займають такі нелінійні поверхні, утворення яких, не підпорядковане ні яким законом. Оптимальну форму таких поверхонь визначають тими фізичними умовами, в яких вони працюють і встановлюють її форму експериментально (поверхні лопатей турбін, обшивка каркасів морських суден і літаків).

Безліч ліній, що заповнюють поверхню так, що через кожну точку поверхні проходить в загальному випадку одна лінія цієї множини, називається каркасом поверхні.

Поверхня може бути задана і кінцевим безліччю точок, яке прийнято називати точковим каркасом.

Проекції каркаса можуть бути побудовані, якщо заданий визначник поверхні - сукупність умов, які задають поверхню в просторі і на кресленні.

Розрізняють дві частини визначника: геометричну і алгоритмічну.

Геометрична частина визначника є набором постійних геометричних елементів (точок, прямих, площин і т.п.), які можуть і не входити до складу поверхні.

Друга частина - алгоритмічна (описова) - містить перелік операцій, що дозволяє реалізувати перехід від фігури постійних елементів до безперервного каркасу.

Наприклад, циклічна поверхню, каркас якої складається з кіл ( Мал. 8.3 ), Може бути заданий наступним чином:

· Геометрична частина визначника: три напрямних l, m, n, вісь i пучка площин

· Алгоритмічна частина: виділяємо з пучка площин з віссю i площину α; знаходимо точки А, В, С, в яких α перетинає відповідно напрямні l, m, n. Будуємо окружність, яка визначається трьома знайденими точками. Переходимо до наступної площині пучка і повторюємо побудова.

Малюнок 8.1. Поверхня утворена рухом лінії Малюнок 8.2. циклічна поверхня Малюнок 8.3. Освіта циклічної поверхні

Поверхні обертання - це поверхні створені при обертанні утворює m навколо осі i (рис. 8.4).

Геометрична частина визначника складається з двох ліній: утворює m і осі i (рис 8 .4.а).

Алгоритмічна частина включає дві операції:

1.На утворює m виділяють ряд точок A, B, C, ... F;

2. Кожна точку обертають навколо осі i.

так створюється каркас поверхні, що складається з безлічі кіл (рис. 8.5), площини яких розташовані перпендикулярно осі i. Ці кола називаються паралелями; найменша паралель називається горлом, найбільша - екватором.

Із закону освіти поверхні обертання випливають дві основні властивості:

1.Плоскость перпендикулярна осі обертання, перетинає поверхню по колу - паралелі.

2.Плоскость, що проходить через вісь обертання, перетинає поверхню по двом

симетричним щодо осі лініях - меридіанах.

Площина проходить через вісь паралельно фронтальній площині проекцій називається площиною головного меридіана , А лінія, отримана в перерізі, - головним меридіаном.

Малюнок 8.5 Поверхня обертання

Розглянемо найбільш поширені поверхні обертання з криволінійними утворюють:

Сфера - утворюється обертанням кола навколо її діаметра (рис. 8.6).

При стисненні або розтягуванні сфери вона перетворюється в еліпсоїди, які можуть бути отримані обертанням еліпса навколо однієї з осей: якщо обертання навколо великої осі то еліпсоїд називається витягнутим (рис. 8.8), якщо навколо малої - стисненим або сфероїд (рис. 8.7).

Тор - поверхня тора формується при обертанні кола навколо осі, що не проходить через центр кола (рис. 8.9).

Параболоїд обертання - утворюється при обертанні параболи навколо своєї осі (рис. 8.10).

Малюнок 8.8. Освіта витягнутого еліпсоїда

Малюнок 8.8. Тор

Малюнок 8.10. параболоїд обертання

Гіперболоїд обертання - розрізняють одне (рис. 8.11а) і двох (рис. 8.11б) порожнинної гіперболоіди обертання. Перший виходить при обертанні навколо уявної осі, а другий - обертанням гіперболи навколо дійсної осі.

Гвинтові поверхні утворюються гвинтовим рухом деякої лінії - утворює.

Під гвинтовим рухом розуміється сукупність двох рухів: поступального паралельно деякій осі, і обертального, навколо тієї ж осі.