Як вирішувати межі для чайників, приклади рішень

1. Що робити з невизначеністю виду: $ \ bigg [\ frac {0} {0} \ bigg] $
2. Спрямуємо межа в останніх двох прикладах до нескінченності і розглянемо невизначеність: $ \ bigg [\...
3. Алгоритм обчислення лімітів

Для тих, хто хоче навчитися знаходити межі в даній статті ми розповімо про це. Не будемо заглиблюватися в теорію, зазвичай її дають на лекціях викладачі. Так що "нудна теорія" має бути у Вас законспектувати в зошитах. Якщо цього немає, то почитати можна підручники взяті в бібліотеці навчального закладу або на інших інтернет-ресурсах.

Отже, поняття межі досить важливо в вивченні курсу вищої математики, особливо коли ви зіткнетеся з інтегральним обчисленням і зрозумієте зв'язок між межею і інтегралом. У поточному матеріалі будуть розглянуті прості приклади, а також способи їх вирішення.

Приклад 1 Обчислити а) $ \ lim_ {x \ to 0} \ frac {1} {x} $; б) $ \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {1} {x} $ Рішення

а) $$ \ lim \ limits_ {x \ to 0} \ frac {1} {x} = \ infty $$

б) $$ \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {1} {x} = 0 $$

Нам часто надсилають ці межі з проханням допомогти вирішити. Ми вирішили їх виділити окремим прикладом і пояснити, що дані межі необхідно просто запам'ятати, як правило.

Якщо не виходить вирішити своє завдання, то надсилайте її до нас. Ми надамо детальний рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення і почерпнути інформацію. Це допоможе своєчасно отримати залік у викладача!

Відповідь $$ \ text {a)} \ lim \ limits_ {x \ to 0} \ frac {1} {x} = \ infty \ text {б)} \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac { 1} {x} = 0 $$ Приклад 2 $$ \ lim \ limits_ {x \ to 1} \ frac {x ^ 2 + 2x + 1} {x + 1} $$ Рішення

Увага "чайникам" :) Щоб обчислити межа будь-якого типу і виду потрібно підставити значення x, вказане під межею, в функцію, що стоїть під знаком межі. Давайте спробуємо це зробити:

$$ \ lim \ limits_ {x \ to 1} \ frac {x ^ 2 + 2 \ cdot x + 1} {x + 1} = \ frac {1 ^ 2 + 2 \ cdot 1 + 1} {1 + 1 } = $$

$$ = \ frac {4} {2} = 2 $$

Як бачимо в результаті у нас вирахували межа, результатом стала двійка. Добре, коли так виходить, але буває так, що результатом стають невизначеності. Спробуємо розібратися з ними - це не так страшно як здається :)

Відповідь $$ \ lim \ limits_ {x \ to 1} \ frac {x ^ 2 + 2x + 1} {x + 1} = 2 $$

Що робити з невизначеністю виду: $ \ bigg [\ frac {0} {0} \ bigg] $

Приклад 3 Розв'язати $ \ lim \ limits_ {x \ to -1} \ frac {x ^ 2-1} {x + 1} $ Рішення

Як завжди починаємо з підстановки значення $ x $ в вираз, що стоїть під знаком межі.

$$ \ lim \ limits_ {x \ to -1} \ frac {x ^ 2-1} {x + 1} = \ frac {(- 1) ^ 2-1} {- 1 + 1} = \ frac { 0} {0} $$

Що тепер далі? Що ж повинно вийти в результаті? Так як це невизначеність, то це ще не відповідь і продовжуємо обчислення. Так як в чисельнику у нас многочлен, то розкладемо його на множники, допомогою знайомої всім формули ще зі шкільної лави $$ a ^ 2-b ^ 2 = (ab) (a + b) $$. Згадали? Відмінно! Тепер вперед і з піснею застосовувати її :)

Отримуємо, що чисельник $ x ^ 2-1 = (x-1) (x + 1) $

Продовжуємо вирішувати з огляду на вищенаведене перетворення:

$$ \ lim \ limits_ {x \ to -1} \ frac {x ^ 2-1} {x + 1} = \ lim \ limits_ {x \ to -1} \ frac {(x-1) (x + 1)} {x + 1} = $$

$$ = \ lim \ limits_ {x \ to -1} (x-1) = - 1-1 = -2 $$

Відповідь $$ \ lim \ limits_ {x \ to -1} \ frac {x ^ 2-1} {x + 1} = -2 $$ Приклад 4 $$ \ lim \ limits_ {x \ to 2} \ frac { x ^ 2-4} {x ^ 2-4x + 4} $$ Рішення

$$ \ lim \ limits_ {x \ to 2} \ frac {x ^ 2-4} {x ^ 2-4x + 4} = \ frac {0} {0} = $$

$$ = \ lim \ limits_ {x \ to 2} \ frac {(x-2) (x + 2)} {(x-2) ^ 2} = $$

$$ = \ lim \ limits_ {x \ to 2} \ frac {x + 2} {x-2} = \ frac {2 + 2} {2-2} = \ frac {4} {0} = \ infty $$

Нескінченність вийшла в результаті - це випливає з прикладу 1. Коли число ділиться на 0 під знаком межі, то виходить нескінченність.

Відповідь $$ \ lim \ limits_ {x \ to 2} \ frac {x ^ 2-4} {x ^ 2-4x + 4} = \ infty $$

Спрямуємо межа в останніх двох прикладах до нескінченності і розглянемо невизначеність: $ \ bigg [\ frac {\ infty} {\ infty} \ bigg] $

Приклад 5 Обчислити $ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {x ^ 2-1} {x + 1} $ Рішення

$ \ Lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {x ^ 2-1} {x + 1} = \ frac {\ infty} {\ infty} $

Що ж робити? Як бути? Не варто панікувати, тому що неможливе - можливо. Потрібно винести за дужки і в чисельнику і в знаменнику ікс, а потім його скоротити. Після цього межа спробувати обчислити. Пробуємо ...

$$ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {x ^ 2-1} {x + 1} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {x ^ 2 (1 \ frac {1} {x ^ 2})} {x (1+ \ frac {1} {x})} = $$

$$ = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {x (1 \ frac {1} {x ^ 2})} {(1+ \ frac {1} {x})} = $$

Використовуючи визначення з прикладу 2 і підставляючи в місце х нескінченність отримуємо:

$$ = \ frac {\ infty (1 \ frac {1} {\ infty})} {(1+ \ frac {1} {\ infty})} = \ frac {\ infty \ cdot 1} {1+ 0} = \ frac {\ infty} {1} = \ infty $$

Відповідь $$ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {x ^ 2-1} {x + 1} = \ infty $$ Приклад 6 $$ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {x ^ 2-4} {x ^ 2-4x + 4} $$ Рішення

$$ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {x ^ 2-4} {x ^ 2-4x + 4} = \ frac {\ infty} {\ infty} $$

Щоб усунути таку невизначеність потрібно винести за дужки ікс в чисельнику і в знаменнику, далі їх скоротити. В отриманий вираз підставити ікс дорівнює нескінченності. Пробуємо ...

$$ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {x ^ 2-4} {x ^ 2-4x + 4} = \ frac {\ infty} {\ infty} = $$

$$ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {x ^ 2 (1 \ frac {4} {x ^ 2})} {x ^ 2 (1 \ frac {4} {x} + \ frac {4} {x ^ 2})} = $$

$$ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {1 \ frac {4} {x ^ 2}} {1 \ frac {4} {x} + \ frac {4} {x ^ 2 }} = \ frac {1} {1} = 1 $$

Відповідь $$ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} \ frac {x ^ 2-4} {x ^ 2-4x + 4} = 1 $$

Алгоритм обчислення лімітів

Отже, давайте коротко підведемо підсумок розібраним прикладів і складемо алгоритм вирішення меж:

1. Підставити точку х в вираз, наступне після знака межі. Якщо виходить певна кількість, або нескінченність, то межа вирішене повністю. В іншому випадку маємо невизначеність: "нуль ділити на нуль" або "нескінченність ділити на нескінченність" і переходимо до наступних пунктів інструкції.
2. Щоб усунути невизначеність "нуль ділити на нуль" потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники. Скоротити подібні. Підставити точку х в вираз, що стоїть під знаком межі.
3. Якщо невизначеність "нескінченність ділити на нескінченність", тоді виносимо і в чисельнику, і в знаменнику x найбільшою мірою. Скорочуємо ікси. Підставляємо значення ікси з під краю в час, що залишився вираз.

У цій статті Ви ознайомилися з основами рішення меж, часто використовуваних в курсі Математичного аналізу. Звичайно ж це не всі типи завдань, що пропонуються екзаменаторами, а тільки найпростіші межі. У наступних статтях поговоримо про інші типи завдань, але спершу необхідно засвоїти цей урок, щоб рухатися далі. Обговоримо, що робити, якщо є коріння, ступеня, вивчимо нескінченно малі еквівалентні функції, чудові межі, правило Лопіталя.

Якщо у Вас не виходить самостійно вирішити межі, то не панікуйте. Ми завжди раді допомогти!